任何物体的运动状态，不管是静止或运动，都发生在空间内，牛顿定义了绝对空间作为参照。绝对空间可以想象成一个无限大的盒子，万物都包裹在其中。绝对空间是无限的、静止的、均匀的、唯一的，它本身不是物质，而是一个抽象的概念。为了方便研究，牛顿还定义了相对空间。相对空间是绝对空间中的一部分，可以被我们感知。
定义一个相对空间时，必须选取一个参照物。参照物可以是任何一个物体，以这个物体为参照物所定义的空间就是这个物体的参照空间，而参照物在它的参照空间里是静止的。参照物一般应在它的参照空间之内，但这不是必须的。参照空间没有大小的限制，以研究方便为准，可以非常小，也可以无限大。多个参照空间可能重叠，但各自独立，没有包含关系。
除了空间，还有时间的概念，两者合在一起可以称为时空系统。于是，一个参照空间和其中的时间一起，称为参照系。换句话说，参照系就是以一个物体作为参照物的时空系统。
(资料图片仅供参考)
比如，以地球为参照物，就形成了一个参照空间，用于研究地表上物体的运动。此时，地球被认为是静止的，虽然它相对太阳一直在不停运动。再比如，一个房间和一列行驶的列车，都可以作为参照物。如果以房间为参照物，它的参照空间可以是房间内部的区域，也可以是包括房间和列车在内的广大区域。此时，房间是静止的，而列车是运动的。如果以列车为参照物，它的参照空间可以是列车内部的区域，也可以是包括列车和房间在内的广大区域。此时，列车是静止的，而房间是运动的。
在一个空间里，如果满足牛顿运动定律，则称这个空间为惯性空间。牛顿认为，任何物体在不受外力的情况下，都会保持原有的静止或匀速直线运动状态，称为惯性。换句话说，如果一个空间内的物体都具有惯性，则这个空间为惯性空间。一个惯性空间和其中的时间一起，称为惯性系，或者惯性参照系，或者惯性参考系，惯性系是牛顿经典力学的前提。如果认定一个参照系为惯性系，那么，相对这个惯性系静止或者匀速直线运动的参照系也是惯性系。
有人说，如果一个物体是静止或者匀速直线运动状态，那么，以这个物体为参照物的参照系就是惯性系。这个说法是不对的，因为物体的运动状态必须先有参照物。又有人说，如果一个物体没有受到外力，那么以这个物体为参照物的参照系就是惯性系。这个说法也是不对的，因为力的定义就与速度有关，而必须先有参照物才能定义速度。可见，惯性系本身是无法定义的，而是通过实验判断，满足牛顿运动定律的参照系就是惯性系。
比如，以地球为参照物构成的参照系为惯性系，简化地说，地球是惯性系。在房间和列车的例子中，房间相对地球静止，所以也是惯性系，而列车如果相对地球或者相对房间做匀速直线运动，那列车也是惯性系。反过来说，此时如果在房间和列车里做实验，必然都会满足牛顿运动定律。
再比如，我们坐在一辆高铁上，不会感到身体被推进或者压后，这是因为高铁相对地球做近似匀速直线运动，坐在里面的乘客保持惯性，也就是静止的状态。而在一辆相对地球加速运动的过山车上，我们会感到强烈的推背感，假如没有靠背，人会朝后飞去，不再保持静止。这说明，过山车不是惯性系，所以不符合牛顿运动定律。
为了更清楚地描述绝对空间，科学家借用以太这个概念。以太是一种假想的物质，作为传播媒介充斥于绝对空间之中。在以太中，太阳是静止的，而地球是运动的。迈克尔逊莫雷实验，就是为了计算地球在以太中的运行速度u而设计。
在地球上一个静止的桌面上，有一个固定的光源，同时朝正前和正上发光。前方L处有一面镜子，上方L处也有一面镜子，两面镜子将接收的光反射回光源的位置。光到达前方镜子所用时间为∆t1，从前方镜子返回到光源点所用时间为∆t2。由于地球本身在绝对空间中朝前运动，于是光朝前到达终点需走过更长的距离，即：
c∆t1 = L + u∆t1
而光返回时则走过更短的距离，即：
c∆t2 = L – u∆t2
朝前往返总时间：
∆t前 = ∆t1 + ∆t2 = 2Lc / (c^2 – u^2)
类似地，由于地球朝前运动，光上下运动的轨迹变成了斜线，根据勾股定理，可以计算出朝上方向光来回的总时间为：
∆t上 = 2L / √(c^2 – u^2)
根据实验结果，朝前和朝上的两束光同时回到光源点，所以∆t前 = ∆t上，经过计算，u = 0。最终，实验测出的地球运动速度为0，与以太理论不符。虽然实验以失败告终，却间接证明了以太可能并不存在，也就是说绝对空间也失去了存在的基础，虽然这个证明并不完备。
以太不存在导致经典物理体系出现问题，爱因斯坦提出狭义相对论予以修正。爱因斯坦认为，绝对空间并不存在，空间都是相对的。这是一个理论，并没有证明，而用它可以解释很多物理现象，所以目前认为是正确的。爱因斯坦同时认为，在惯性系中，光在真空中的传播速度是一个常数，不管是光源移动，还是观察者移动，光速都不会发生改变。这也是一个不需证明的理论，但被认为是正确的。这里提到了必须惯性系为前提，这也是狭义相对论之所以称为狭义的原因。
物体的运动可以用速度来描述，速度就是位移变化与时间变化的比值，而位移变化正是空间变化。根据v = ds / dt，不管空间还是时间发生了变化，速度都会随之改变。然而，如果速度不变了，那么空间和时间便会发生我们意想不到的改变。所以，光速不变的理论会引起很多前所未有的问题，包括尺缩效应和钟慢效应，也就是空间变化和时间变化。
顺便说一下，速度公式的写法容易产生误解，其实它的本质就是导数，即v = sʹ = ds / dt。所以，一定会有s = f(t)这样一个函数，而这个函数并无明确定义，是根据物体的具体运动而来。比如，当匀速直线运动时，函数为s = f(t) = vct，这里vc是一个常数。于是，v = sʹ = vc，匀速直线运动的速度是个常量。当不规律运动时，这个函数则可能是一条奇奇怪怪的曲线。
在迈克尔逊莫雷实验中，实验装置是固定不动的。现在将实验装置放到一辆小车上，使得光源在小车尾部，前方的镜子在小车头部，上方的镜子在小车顶部，并让小车以速度v朝前做匀速直线运动。然而，实验结果仍然是朝前和朝上的两束光同时回到光源点。根据这个实验结果，仍然能推出v = 0，但这显然是不对的，所以，必然是其他变量发生变化。
由于光速c不变，那变化的只能是长度。将光源到上方的镜面的长度仍记作Lʹ，并认为它是不变的。注意，这是理论的基础，是条件而不是结果，所以不需要证明。将小车到前方镜面的长度，也就是在运动方向上的长度，记作L。根据实验结果，∆t前 = ∆t上，推出：
L = √(1 - v^2 / c^2)Lʹ
运动的物体在运动方向上的长度缩短了，称为尺缩效应，又称长度收缩。当然，这种变化只有在速度很大时才会被察觉。为了方便表示，定义：
洛伦兹因子：γ = 1 / √(1 - v^2 / c^2)
于是，得到：
尺缩公式：L = Lʹ / γ
注意，如果以地球为参照系，L是运动中小车的长度，Lʹ是小车静止时的长度。如果以小车为参照系，Lʹ就是小车的长度，L没有意义。
再以小车本身为参照物，在小车参照系中，光朝上的时间为：
∆tʹ = 2Lʹ / c
而在地球参照系中，光走的是斜线，即：
∆t = 2Lʹ / √(c^2 – v^2)
注意，按照之前的假设，这个方向上的长度Lʹ是不变的。经过计算：
∆tʹ = √(1 - v^2 / c^2)∆t
如果用朝前方向的数据进行计算，去除尺缩效应的影响后，结果也是一样的。可见，在小车的参照系中，或者说，在运动的参照系中，时间过得更慢，也就是说，完成同一件事情，花费的时间更短。这称为钟慢效应，又称时间膨胀。于是得到：
钟慢公式：∆tʹ = ∆t / γ
当然，这仍然是在速度很快的情况下才会被察觉。注意，∆t是地球参照系中的时间间隔，∆tʹ是小车参照系中的时间间隔。
总结一下，假设有两个参照系，比如之前提到房间和列车。在房间的参照系中，房间是静止的，列车做匀速直线运动。不妨简单地把房间参照系称为静止系，把列车参照系称为运动系。在静止系中观察运动系，运动系中的静止物体在运动系运动方向上的长度会缩短，运动系中的时间会过得更慢。
对于尺缩效应和钟慢效应存在很多质疑，其中最有名的就是郎之万提出的双生子佯缪。从一个参照系认为另一个参照系的时间变慢，但由于空间和运动是相对的，那么从另一个参照系反过来认为这个参照系的时间会变慢。所以，到底哪个时间变慢，产生了矛盾。假定甲、乙两人，甲在地球上不动，乙乘飞船以高速做匀速直线飞行。一段时间后，由于钟慢效应，甲认为乙更年轻，而乙认为甲更年轻，这便产生了矛盾。根据爱因斯坦的解释，这只是一种误解，并非真的谬误。
把问题描述得形象一些，甲发现自己长出了两根胡子，他掐指一算，乙应该只长出了一根胡子。而乙摸着自己的一根胡子，算了一下，甲应该还没有长出胡子。那么，乙有一根胡子时，甲到底是两根胡子还是没有胡子，便成了问题。解决这个疑问的关键在于，甲两根胡子和乙一根胡子这两件事，对于甲来说是同时发生的，但对于乙来说并不是同时发生。同样，乙一根胡子和甲没有胡子这两件事，对于乙来说是同时发生的，但对于甲来说并不是同时发生。这便是同时相对性。
先来证明一下同时相对性。以飞船为参照系，假定飞船的头部和尾部距离Lʹ，在其中间点朝头尾同时发送光束，则光同时到达，耗时为：
∆t静 = Lʹ / 2c
以地球为参照系，根据尺缩效应，飞船长度并不是Lʹ，而是L。由于飞船朝前运动，所以光束到达头部是时间为：
∆t头 = L / 2(c - v)
另一光束到达尾部的时间为：
∆t尾 = L / 2(c + v)
两者明显并不同时，其时间差为：
∆t差 = ∆t头 - ∆t尾 = Lv / (c^2 – v^2)
运用尺缩效应的公式，将L变换为Lʹ，时间差调整为：
∆t差 = (Lʹv / c^2) / √(1 - v^2 / c^2) = (Lʹv / c^2) γ
再反过来看，若是两件事在地球上同时发生，则根据钟慢公式，飞船上的时差为：
∆tʹ差 = Lʹv / c^2
不过，由于飞船看地球的运动方向相反，所以，两件事的先后关系也反转。
总结一下，在一个运动的参照系中，两个地点同时发生的事情，到了静止的参照系中，并不同时发生，运动方向上后方的比前方的更早发生，时差为：
∆t差 = (Lʹv / c^2) γ
在一个静止的参照系中，两个地点同时发生的事情，到了运动的参照系中，并不同时发生，运动方向上前方的比后方的更早发生，时差为：
∆tʹ差 = Lʹv / c^2
注意，这两个公式中的长度都是Lʹ。
回到双生子的问题，为了方便计算，假定飞船的速度v = ，飞船从地球正上方飞过时，甲和乙都为0岁。现在以地球为参照系，过了20年，根据速度公式，飞船已经远离了16c的距离。此时，甲为20岁，而根据钟慢效应，乙为12岁。转换飞船参照系，根据尺缩公式，乙离开甲的距离为，根据速度公式，已经过了年。也就是说，乙已经岁了，而甲刚刚20岁，这与钟慢公式相符。那么，甲20岁时，乙到底是12岁还是33岁，似乎有了矛盾。其实，根据同时性对性，在地球系中，甲20岁和乙12岁同时发生，而在飞船系中，两件事并不同时发生。根据同时性对性公式，相差了年，也就是说，在飞船系中，乙12岁这件事发生了年后，也就是乙岁时，甲20岁，这就没有了矛盾。可见，不同参照系的同时性是不同的。再以胡子为例，在地球系中，甲两根胡子时乙一根胡子，而在飞船系中，甲两根胡子时乙四根胡子，这两者都是正确的，因为不同参照系的的同时性是不同的，无法进行比较。
类似的疑问，一粒光子以光速从身边飞过，从光子的角度来说，人的时间变慢，寿命变长。我们身边都是光，但寿命并没有因此变长，这也是因为同样的原因。其实，每个人在自己的空间生活，并不会感到时间快慢，换句话说，飞船上的乙并不会觉得自己多活了，那只是甲觉得他年轻罢了。
为了更加清晰地解释问题，引入洛伦兹变换的概念。假定用四维坐标系来表示两个惯性系S和Sʹ，第四维为时间。其中 Sʹ相对S做匀速直线运动，方向为x轴正方向，速度为u。当两个坐标系原点重合时，原点时间t和tʹ同时为0。
洛伦兹变换的公式为，空间变换：
xʹ = (x – ut) γ
时间变换：
tʹ = (t – ux / c^2) γ
其中，x和xʹ是某一点的位置坐标，t和tʹ是该坐标点的时间，而两外两个维度y和z没有变化，所以不做讨论。在静止系S系中，所有点的t是相同的，而在运动系Sʹ中则不同。
推导空间公式，在空间方面，从起始状态开始，随着时间的推移，Sʹ的原点前移了ut的距离。所以，当从坐标系S变换到Sʹ，需要 (x – ut)来调整原点变化。接着，再用 √(1 – u^2 / c^2)将调整后的坐标进行尺缩，最终推得xʹ坐标的变换公式。
推导时间公式，在时间方面，假定要计算某点A在Sʹ中的时间tʹA。已知xA = x，tA = t，并根据洛伦兹变换，可得xʹA = (x – ut) γ。此时，设Sʹ的原点移动到了B点，所以，xʹB = 0，xB = ut。根据S系中所有点时间相同， 可知tB = tA = t。接下来，根据钟慢公式，可得∆tʹ = ∆t / γ。注意，钟慢公式中的时间是时间间隔而不是时间点，而时间间隔在同一个空间内是不变的，与位置无关。又因为B是原点，所以该点的时间间隔等同于时间点坐标，于是，tʹB = tB / γ = tA / γ。接下来，根据同时相对性公式，S系中A和B两点同时，即tB = tA，而到了Sʹ系中，A点先发生，B点后发生，相差tʹB - tʹA = xʹAu / c^2。注意，由于B是Sʹ系原点，所以公式中可以直接用坐标替代长度。至此，得到tʹA = tʹB - xʹAu / c2，再经过化简，最后得到洛伦兹时间变化公式。
用洛伦兹变换来解释双生子的例子。地球系S，原点为甲的位置，飞船系Sʹ，的原点为乙的位置。飞船出发时两个原点重合，S和Sʹ的时间为0，甲和乙都是0岁。飞船以速度u = 匀速朝前运动，地球的时间过去了20年。此时，甲仍在地球系原点，该位置未发生变化，称为A点。乙仍在飞船系原点，但该点已经运动到了新的位置，称为B点。
先看飞船在A点时，也就是起始状态：
xA1 = 0，tA1 = 0，xB1 = * 20 = 16c，tB1 = tA1 = 0
根据洛伦兹变换：
xʹA1 = 0，tʹA1 = 0，xʹB1 = ，tʹB1 = -
再看飞船到达B点时：
xA2 = 0，tA2 = 20，xB2 = * 20 = 16c，tB2 = tA2 = 20
根据洛伦兹变换：
xʹB2 = 0，tʹB2 = 12，xʹA2 = -，tʹA2 =
接下来，推算甲和乙的年龄。甲一直停留在A点，其年龄为：
tA2 - tA1 = 20
从S系来看，乙从A点运动到B点，其年龄为：
tʹB2 - tʹA1 = 12
从Sʹ系来看，乙一直停留在B点，其年龄为：
tʹB2 - tʹB1 =
所以，当甲20岁时，在地球上看乙为12岁，在飞船上看乙为岁，两个参照系的同时性不同。
除了空间和时间，速度在不同参照系中也需要转换。根据洛伦兹变换，以及速度公式v = ds / dt，可以推算出速度公式：
vʹ = (v - u) / (1 – vu / c^2)
比如，上例中的飞船以速度v匀速直线前进，然后调头朝反方向返回，速度u = -v。下面，分别以地球和返航飞船来看前进飞船的速度。在地球系S中，前进飞船的速度为v。在返航飞船Sʹ中，根据洛伦兹速度变换公式，前进飞船的速度为vʹ = 2vc^2 / (v^2 + c^2)。例如，v = ，则vʹ = 。换句话说，以地球做参照系，前进飞船以的速度朝前运行，而以返程飞船为参照系，前进飞船是以的速度朝前运行，而不是简单叠加的2v = 。这也说明，任何物体的速度是不可能超过光速的。
至此，问题并未完全解决。既然两个不同空间具有同时相对性，无法进行年龄的比较，那么当飞船返航后，甲乙两人再次同时出现在地球系，便可以进行比较。假设飞船回到了地球，到底谁更年轻，答案是飞船上的乙更年轻。
这又让人产生了疑问，如果甲乙的一切都是相对的，或者说都能互换，那么，对于任何一种解释，反过来说都能成立，于是矛盾产生。解决这个疑问的关键在于，甲和乙并不对等。乙要回来，那必然有一个调头的过程，这个过程速度从v变成的-v，速度的变化必然有加速度，打破了匀速直线运动，那么，此时的飞船并不是惯性系，不再符合狭义相对论。换句话说，乙相对甲加速运动，不能反过来说甲对于乙做加速运动。加速运动需要力的变化，乙实际受到了力，而甲并没有，所以，两者并不对等，有本质的区别。
此时又会有疑问，飞船受到力而相对地球做加速运动，而此时从飞船上看地球，地球也的确在做方向相反的加速运动。然而，此时地球并没有受到力的作用。这是正确的，因为非惯性系不符合牛顿定律。此时，我们还是可以引入惯性力的概念，从而用牛顿定律来研究非惯性系的问题，不过，这是另外一个话题，在这里不是重点。
总而言之，乙在加速调头的瞬间，坐标系发生变换，根据洛伦兹变换后，甲的年龄会发生突变，具体的推导不再进行。
注意，以上只是学习笔记，并不严谨，甚至可能错误，仅做参考。关于狭义相对论的学习就此告一段落。
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